高代知识点全汇总

第一章——矩阵及初等变换#

§1.1. 矩阵及其运算

线性代数学习笔记——第一讲——线性代数课程绪论

线性代数学习笔记——第二讲——矩阵的定义及示例

线性代数学习笔记——第三讲——矩阵加法及数乘

线性代数学习笔记——第四讲——矩阵乘法的定义

线性代数学习笔记——第五讲——矩阵乘法的性质

线性代数学习笔记——第六讲——矩阵的转置 §1.2. 高斯消元法与矩阵的初等变换

线性代数学习笔记——第八讲——矩阵的初等变换

线性代数学习笔记——第九讲——初等矩阵

§1.3. 逆矩阵

线性代数学习笔记——第十讲——逆矩阵的定义

线性代数学习笔记——第十一讲——逆矩阵的计算（利用初等变换求逆矩阵）

线性代数学习笔记——第十二讲——求解矩阵方程 §1.4. 分块矩阵

线性代数学习笔记——第七讲——分块矩阵

第二章——行列式#

§2.1. n阶行列式的定义

线性代数学习笔记——第十三讲——行列式的定义

§2.2. n阶行列式的性质

线性代数学习笔记——第十四讲——行列式的性质 §2.3. Laplace定理

线性代数学习笔记——第十五讲——行列式按行（列）展开

线性代数学习笔记——第十六讲——行列式的计算

线性代数学习笔记——第十七讲——伴随矩阵与逆矩阵

线性代数学习笔记——第十八讲——抽象矩阵的可逆性 §2.4. Cramer法则

线性代数学习笔记——第十九讲——克拉默法则 §2.5. 矩阵的秩

线性代数学习笔记——第二十讲——矩阵秩的定义、

线性代数学习笔记——第二十一讲——矩阵秩的等式

线性代数学习笔记——第二十二讲——矩阵秩的不等式

第三章——几何空间#

§3.1. 空间直角坐标系与向量

线性代数学习笔记——第二十三讲——空间直角坐标系

线性代数学习笔记——第二十四讲——向量及其线性运算

线性代数学习笔记——第二十五讲——向量在轴上的投影

线性代数学习笔记——第二十六讲——向量线性运算的几何意义

线性代数学习笔记——第二十七讲——向量的方向余弦 §3.2. 向量的乘法

线性代数学习笔记——第二十八讲——向量内积的概念与性质

线性代数学习笔记——第二十九讲——向量内积的坐标形式

线性代数学习笔记——第三十讲——向量外积的概念与性质

线性代数学习笔记——第三十一讲——向量外积的坐标形式

线性代数学习笔记——第三十二讲——向量混合积的概念与性质

线性代数学习笔记——第三十三讲——向量混合积的几何意义

第四章——n维向量空间#

§4.1. n维向量空间的概念

线性代数学习笔记——第四十讲——n维向量空间的概念

线性代数学习笔记——第四十一讲——n维向量空间的子空间 §4.2. 向量组的线性相关性

线性代数学习笔记——第四十二讲——向量组的线性组合

线性代数学习笔记——第四十三讲——向量组之间的线性表出

线性代数学习笔记——第四十四讲——线性相关性的概念

线性代数学习笔记——第四十五讲——线性相关性的判定

线性代数学习笔记——第四十六讲——线性相关基本定理 §4.3. 向量组的秩与最大无关组

线性代数学习笔记——第四十七讲——向量组的秩与最大无关组的概念

线性代数学习笔记——第四十八讲——矩阵的列秩和行秩

线性代数学习笔记——第四十九讲——向量组之间的线性表出和秩

线性代数学习笔记——第五十讲——最大无关组的性质和等价叙述 §4.4. 线性方程组解的结构

线性代数学习笔记——第五十一讲——n维向量空间的基、维数与坐标

线性代数学习笔记——第五十二讲——齐次方程组解的性质和基础解系

线性代数学习笔记——第五十三讲——齐次方程组求解实例

线性代数学习笔记——第五十四讲——非齐次方程组解的性质

线性代数学习笔记——第五十五讲——非齐次方程组求解实例

第五章——特征值与特征向量#

5.1 特征值与特征向量的概念与计算

线性代数学习笔记——第五十六讲——特征值及特征向量的定义

线性代数学习笔记——第五十七讲——特征子空间

线性代数学习笔记——第五十八讲——特征值与特征向量的判定

线性代数学习笔记——第五十九讲——特征值与特征向量的计算

线性代数学习笔记——第六十讲——特征多项式

线性代数学习笔记——第六十一讲——矩阵函数、逆矩阵、伴随矩阵的特征值与特征向量 §5.2 矩阵的相似对角化

线性代数学习笔记——第六十二讲——矩阵的相似对角化引例

线性代数学习笔记——第六十三讲——相似的定义与性质

线性代数学习笔记——第六十四讲——相似对角化的判定（1）

线性代数学习笔记——第六十五讲——相似对角化的判定（2）

线性代数学习笔记——第六十六讲——矩阵方幂的计算

§5.3 n维向量空间的正交性

线性代数学习笔记——第六十七讲——向量的内积

线性代数学习笔记——第六十八讲——柯西—施瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式

线性代数学习笔记——第六十九讲——正交向量组与标准正交基

线性代数学习笔记——第七十讲——格拉姆—施密特（Gram-Schmidt）正交化方法

线性代数学习笔记——第七十一讲——正交矩阵

线性代数学习笔记——第七十二讲——共轭矩阵

§5.4实对称矩阵的相似对角化

线性代数学习笔记——第七十三讲——实对称矩阵的特征值与特征向量

线性代数学习笔记——第七十四讲——实对称矩阵的相似对角化

第六章——二次型与二次曲面#

§6.1.实二次型

线性代数学习笔记——第七十五讲——二次型及其矩阵表示

线性代数学习笔记——第七十六讲——矩阵的合同

线性代数学习笔记——第七十七讲——用配方法化二次型为标准型

线性代数学习笔记——第七十八讲——用正交变换化二次型为标准型 §6.2. 正定二次型

线性代数学习笔记——第七十九讲——正定二次型的概念

线性代数学习笔记——第八十讲——正定二次型的性质（1）

线性代数学习笔记——第八十一讲——正定二次型的性质（2）

线性代数学习笔记——第八十二讲——二次型的其它类型

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一些总结，可能较零碎。

本节是线代某些知识点总结，可能较零碎。

对于简单的知识点，例如“两行对应成比例，行列式为0”就不讲了。暂时不举例题，有时间会继续补充！

一.初等行/列变换#

1.计算行列式时，行列变换都可#

因为

，所以不论动行/列都是等价的。

变换规则：

1.“倍乘”：行列式的某行(列)乘某个元素k。相应的，若行列式中某行(列)元素有公因子k(k≠0)，则k可提到行列式外面，即:

2.”互换”：行列式中两行(列)互换，行列式变号。

3.“倍加”：某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不变。

3.解线性方程组时，仅能使用初等行变换#

因为矩阵的每一种初等行变换都对应着线性方程组的同解变换，而作列变换会改变原来的方程。

**4.**判定解的情况，单纯求r(A),r(A,b)的过程行列变换都可#

注：将r(A,b)化行阶梯求秩时，往往我们需要同时得到r(A)，如果想用列变换的话，只能对A单独列变换，千万不要将b列和A的列混合运算，这样r(A)就不准了。(但r(A,b)是准的)。

但是，如果涉及到求通解或唯一解，那么就只能做行变换化行阶梯了，所以建议一开始就只做行变换。

总结：求解的过程，就只进行初等行变换化行阶梯求秩，并且顺势化为行最简型求解**。**

5.求向量组极大无关组、线性表出关系，则仅行变换#

因为初等行变换不改变列向量组的线性表出关系。例如下图，

矩阵中，，

矩阵同样有这样的关系。

6.求向量组的秩时，行列变换都可#

求向量组的秩，其实最后会转化为求矩阵的秩，原理就是**“矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩”，**所以求向量组的秩也是行列变换都可。

但是一般求向量组的秩后面会继续求解极大无关组/线性表出关系，这时只能做行变换，所以还是建议从开头就只使用行变换。

7.求特征值时，行列变换都可#

因为特征多项式本质上是行列式，求行列式时，行列都可以换。

8.求特征向量时，仅做行变换#

因为求特征向量时，本质是在解线性方程组，只能进行初等行变换。

9.求逆矩阵时，对(A,E)仅做初等行变换#

因为以A−1𝐴−1左乘A得到E，以A−1𝐴−1左乘E得到A−1𝐴−1，以A−1𝐴−1左乘的过程就是做初等行变换的过程。

所以怎么体现A和E做了完全一样的A−1𝐴−1所带来的初等行变换，就是将A，E横着拼在一起，此时做的初等行变换就是同步的了。

二.要牢记#

先写那么多，后面有再补充：

一些推导：

对于AB ≠ BA的补充：

1.矩阵的逆

推导如下：

初等矩阵的逆：

2.矩阵的伴随

三.某某子式#

2.代数余子式#

余子式Mij𝑀𝑖𝑗乘(−1)i+j(−1)𝑖+𝑗后称为a的代数余子式，记作AAij𝐴𝑖𝑗

3.k阶子式#

给定一个矩阵，任取k行，任取k 列，共k2𝑘2个数构成的行列式，出现在矩阵的秩中，定义如下：

设A是mxn矩阵，则若存在k阶子式不为零，而任意k+1阶子式(如果有的话)全为零，则r(A)=k，且若A为nxn矩阵，则：

四.矩阵的秩#

① 0 <= r(A) <= min{m,n}

② r(kA)=r(A)(k ≠ 0)

③ r(AB) <= min{r(A),r(B)}

④ r(A+B) <=r(A)+r(B)

⑤

r(A)=n-1,r(A*)=1的证明：

进而可得出一个重要结论：

******************A************m****∗****n********************B************n****∗****s**************=****0************𝐴𝑚∗𝑛𝐵𝑛∗𝑠=0******，则r(A)+r(B)<=n**

所以，看到A*B就要想到两个结论：

⑥ 设A是m*n矩阵，P,Q分别是m阶，n阶可逆矩阵，则

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

⑦ r(A)=r(AT)𝑟(𝐴𝑇)=r(AAT𝐴𝐴𝑇)=r(ATA𝐴𝑇𝐴)

关于⑤的例题：

为什么Ax=b有n-r+1个线性无关的解：

五.常用特征值与特征向量#

注意这样一道例题：

关于特征值的一些提示：

六.矩阵，向量组，方程组#

矩阵，向量组

① 向量组是由有限个相同维数的行向量或者列向量组成，其中向量是由n个实数组成的有序数组,是一个n1的矩阵(n维列向量)或是一个1n的矩阵(n维行向量)。


② 矩阵是由m*n个数排列成m行n列的数表。

一个向量组可以看作是一个矩阵的列（或行）向量集合。如果一个矩阵有n列，那么这n列就可以看作是一个由n个向量组成的向量组。反过来，一个矩阵也可以看作是由其列（或行）向量组成的向量组。

2.怎么判断两个向量组是等价向量组#

向量组等价的前提：A，B矩阵****同维****

若r( Ⅰ )=r(α1,α2,α3,α4𝛼1,𝛼2,𝛼3,𝛼4…) r(Ⅱ)=r(β1,β2,β3,β4𝛽1,𝛽2,𝛽3,𝛽4…)

向量组等价的充要条件： ① r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，且(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出（单向表出即可）

② r(Ⅱ)=r(Ⅰ)，且(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出（单向表出即可）

③ r(α1,α2,α3,α4𝛼1,𝛼2,𝛼3,𝛼4…) =r(β1,β2,β3,β4𝛽1,𝛽2,𝛽3,𝛽4…) =r(α1,α2,α3,α4𝛼1,𝛼2,𝛼3,𝛼4…,β1,β2,β3,β4𝛽1,𝛽2,𝛽3,𝛽4…)，即

r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)

④ Ⅰ和Ⅱ能够相互线性表示。

总结： ① 两个矩阵A与B等价指的是A可以通过有限次初等变换变成B。两个不同型矩阵是不可能等价 乡 ② 两个向量组等价只指的是它们能够互相线性表示，它们各自所含向量的个数可能是不一样的。

例题：

D.即使Ⅰ 和 Ⅱ 同为n维向量组，但是s与t的关系未知，也就是行数相等，列数未知，所以A，B两个矩阵可能不同型，不能等价。

B.(Ⅰ)可由（Ⅱ）表示，缺少其他条件，如果① 加上(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出 或者② r(Ⅰ)=r(Ⅱ)就对了

C正确

D r(A)=r(B)，只能推出两个向量组秩相同，缺少其他条件，如果加上① 加上(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出 或者②加上(Ⅰ )可由(Ⅱ)线性表出或者③ r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)，就对了。

3.矩阵和向量等价的比较#

例题：

4.同解方程组#

若两个方程组Am∗nx=0𝐴𝑚∗𝑛𝑥=0与Bs∗nx=0𝐵𝑠∗𝑛𝑥=0有完全相同的解，则称它们为同解方程组

充要条件：

① Ax=0的解满足Bx=0，且Bx=0的解满足Ax=0(互相把解代入求出结果即可)

② r(A)=r(B)，且Ax=0的解满足Bx=0(或Bx=0的解满足Ax=0)

③ r(A)=r(B)=r([AB][𝐴𝐵])(三秩相同)

例1：

例2：

例3：

七.齐次线性方程组和非齐次线性方程组#

齐次线性方程组有解的条件：

① r(A)=n时，方程组有唯一零解。

② r(A)=r<n时，方程组有非零解（无穷多解），且有n-r个线性无关解

齐次方程组其实就是解和系数的正交，例如，给你一个条件：

α1=2α2+α3𝛼1=2𝛼2+𝛼3---->α1−2α2−α3+0α4=0𝛼1−2𝛼2−𝛼3+0𝛼4=0

则(1 -2 -1 0)就是齐次方程组的基础解系

非齐次线性无关组有解的条件：

① 若r(4)≠r([A,b])，则方程组无解； ② 若r(A)=r([A,b])=n，则方程组有唯一解； ③ r(A)=r([A,b])=r<n，则方程组有无穷多解。

非齐次方程组的通解的求法：

①求Ax=0的解

② 求Ax=b的一个特解

③ 非齐次方程组的通解=齐次方程组的解+一个非齐次的特解

如果A行满秩，则r(A)=r(A|b)，那么方程组一定有解。

如果A列满秩，则r(A)与r(A|b)的关系不确定：

① r(A)<r(A|b)，则无解

② r(A)=r(A|b)<n，有无穷多解

③ r(A)=r(A|b)=n，有唯一解

非齐次方程组解的性质：

若η1η2η3𝜂1𝜂2𝜂3是非齐次线性方程组Ax=b的解，ξ𝜉是对应齐次方程组Ax=0的解，则： (1) η1−η2𝜂1−𝜂2是Ax=0的解；（2）kξ+η𝑘𝜉+𝜂是Ax=b的解

扩展：

解释：

1.p个解的任意组合，都是齐次线性方程组的解

2.非齐次的解线性组合也能得到齐次线性方程组的解，但是需要满足k1+k2+…+kp=0，例如，α1−α2𝛼1−𝛼2=0(1-1=0),α1−α2𝛼1−𝛼2就是齐次线性方程组的解。

3.非齐次的解线性组合也能得到非齐次线性方程组的解，但是需要满足k1+k2+…+kp=1，例如，(α1+α2)/2(𝛼1+𝛼2)/2，就是非齐次线性方程组的一个解。

4.齐次线性方程组的解与非齐次线性方程组的解相加，得到的是非齐次线性方程组的解。

5.r(A)=r，A就有n-r个线性无关的解，而x1,x2,…xn−r𝑥𝑛−𝑟刚好是Ax=0的n-r个线性无关解，所以

k1x1+k2x2+…+kn−rxn−r𝑘𝑛−𝑟𝑥𝑛−𝑟是Ax=0的解。

例题：

A.α1−α2𝛼1−𝛼2是组合系数是1-1=0，α1−α2𝛼1−𝛼2是Ax=0的解

B.3α1−2α23𝛼1−2𝛼2是Ax=b的解，C,D同理。

八.对比记忆#

1.

矩阵A的tr(A)：tra(A)=矩阵A的迹=对角线元素之和

**2.**对于秩为1的n阶矩阵A或A=αβT𝛼𝛽𝑇(或βTα𝛽𝑇𝛼)（a,β都是n维非零列向量），其特征值为λ1λ2λ3…λn−1𝜆1𝜆2𝜆3…𝜆𝑛−1=0，λn=∑ni=1aii=βTα𝜆𝑛=∑𝑖=1𝑛𝑎𝑖𝑖=𝛽𝑇𝛼（或αTβ𝛼𝑇𝛽）

3.

例题1：

例题2：

九.相似与正交#

存在n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=B𝑃−1𝐴𝑃=𝐵,则称A相似于B，记为A~B

若A~B

① |A|=|B|

② r(A)=r(B)

③ tr(A)=tr(B)

④ λA=λB𝜆𝐴=𝜆𝐵（|λE−A|=|λE−B||𝜆𝐸−𝐴|=|𝜆𝐸−𝐵|）

⑤ r(λE−A)=r(λE−B)𝑟(𝜆𝐸−𝐴)=𝑟(𝜆𝐸−𝐵)

*⑥ A，B各阶主子式之和分别相同*

也就是说，A与B即使特征值相同，但也不一定相似。但是如果A，B都是实对称矩阵，那么相似，则一定特征值相同（实对称矩阵一定能相似对角化，特征值相同一定能相似于同一个对角矩阵，根据传递性A~B）。

那么怎么判定矩阵相似呢？

① 定义法

存在n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=B𝑃−1𝐴𝑃=𝐵

② 传递法

AΛΛ，ΛΛB，则A~B，其中ΛΛ为对角阵

这就要说到矩阵的相似对角化

矩阵可相似对角化的条件：

充要条件：

① n阶矩阵A可相似对角化↔有n个线性无关的特征向量。

② n阶矩阵A可相似对角化↔A对应于每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量

必要条件：

③ n阶矩阵A有n个不同特征值→A可相似对角化

④ n阶矩阵为实对称矩阵→A可相似对角化

对于矩阵相似对角化的步骤：

① 求特征值

② 求特征向量

③ 正交化（如果需要的话），单位化η1η2η3…ηn𝜂1𝜂2𝜂3…𝜂𝑛

④ 令Q=[η1η2η3…ηn𝜂1𝜂2𝜂3…𝜂𝑛],则Q为正交矩阵，且Q−1AQ=QTAQ=Λ𝑄−1𝐴𝑄=𝑄𝑇𝐴𝑄=Λ

上面提到了实对称矩阵，实对称矩阵就是组成A的元素都是实数。对于实对称矩阵（AT=A𝐴𝑇=𝐴）要记住：

对于正交，你需要记住： ① αTβ=0𝛼𝑇𝛽=0，则

，

是正交向量

② 若满足ATA=E𝐴𝑇𝐴=𝐸，则A是正交矩阵

ATA=E𝐴𝑇𝐴=𝐸↔A−1=AT𝐴−1=𝐴𝑇

例题：

不可对角化的矩阵怎么判断相似：

例题：

如果A与B相似，那么：

对于任意实数k和整数n，有(A+kE)n(𝐴+𝑘𝐸)𝑛与(B+kE)n(𝐵+𝑘𝐸)𝑛相似

对于上面这道题，取k=-1，n=1，判断哪两个矩阵相似。

矩阵相似还可得出：

① A~B，Ak=Bk𝐴𝑘=𝐵𝑘，f(A)=f(B)

② 若AB，且A可逆，则A−1𝐴−1B−1𝐵−1，f(A−1𝐴−1)=f(B−1𝐵−1)

③ 若A~B，A∗𝐴∗~B∗𝐵∗

④ 若AB，AT𝐴𝑇BT𝐵𝑇

注：

#

十.合同#

设A，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得CTAC=B𝐶𝑇𝐴𝐶=𝐵，则称A与B合同，即A≅B𝐴≅𝐵。A与B合同，就是指同一个二次型在可逆线性变换下的两个不同状态的联系。

**注：**由于我们已经规定，对称矩阵才是二次型矩阵，所以二次型矩阵都是对称矩阵，相应的和对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵。

例题：

十一.二次型#

关于二次型化标准型或规范型的方法：配方法，正交变化有总结如下：

所以我们可以进一步得到

等价，合同和相似的关系：#

**注：**相似一定合同的前提条件是A，B都是实对称矩阵

例题：

关于配方法和正交变换分别给一个例题： 配方法：

正交变换：

① 若λ1=λ2𝜆1=𝜆2，那么两个同一特征值对应的特征向量需要正交化，如果本来就正交可以不做这一步，所以在计算特征值的时候，可以将两个特征向量写为正交的，这样就免去了施密特正交化，直接进入单位化即可。

② λ1≠λ2≠λ3𝜆1≠𝜆2≠𝜆3，那么不用进行施密特正交，直接单位化即可。

常见题型：

这里记录一个例题：

若二次型中只有混合项，没有平方项，要怎么做？

十二.二次型正定#

二次型正定的充要条件： n元二次型f=xTAx𝑓=𝑥𝑇𝐴𝑥正定↔对任意x≠0，有xTAx𝑥𝑇𝐴𝑥>0（定义）

① ↔f的正惯性指数p=n

② ↔存在可逆矩阵D，使得A=DTD𝐴=𝐷𝑇𝐷

③ ↔A≅E𝐴≅𝐸，A与E合同

② ③推导：

④↔A的特征值λ𝜆>0

⑤↔A的全部顺序主子式>0

二次型正定的必要条件：

① aii𝑎𝑖𝑖>0，对角线元素全部大于0

② |A|>0

最好是使用充要条件① ④ ⑤判断二次型是否正定，如果非要用定义法，来看个例题：

注意上题，不能直接将f判定为正定：

因为将二次型化为标准型的过程一定要做可逆线性变换

例题1：

例题2：