2025-11-02 组会朝花夕拾

设定：#

存在两个独立的、我们无法直接观测的泊松过程 $B$ 和 $S$。它们分别服从泊松分布： $B \sim \text{Poisson}(b)$：参数为 $b$ $S \sim \text{Poisson}(q)$：参数为 $q$ 我们唯一能观测到的是它们的总和 $Y = B + S$

由于泊松分布的可加性，$Y$ 本身也服从泊松分布：$Y \sim \text{Poisson}(b + q)$ 现在引入了另一个可观测的变量 $W \sim \text{Poisson}(m \cdot b)$ 于是同时拥有了两个可观测变量：$Y$ 和 $W$

目标：#

利用 $(Y, W)$ 的联合观测数据，来估计出那些未知的参数：$b$, $q$, 以及可能的 $m$

• $Y = B + S$
• $S \sim P(q)$
• $B \sim P(b)$

$\Rightarrow Y \sim P(STA)$，$STA = q + b$

构造 $W \sim P(m \cdot b)$

可观测的对象：$Y = y$，$W = w$

现在需要对 $q$ 做推断/检验，看有无区间严格保证 $1-\alpha \in I$

两个方法：

1. 参考之前文章的 idea 直接推
2. 用随机加权的 IM 方法

随机加权的 IM 方法的话就是：

利用随机加权的 IM 方法为参数 $q$构造置信区间

差不多研究下相关的文献之后再研究

Y = B + S S ~ P(lambda) B ~ P(b) ==> Y ~ P(STA) STA = lambda + b

构造 W ~ P(m * b)

可观测 obser： Y = y ， W = w 问题 QUS：对 lambda 做推断/检验 看有无区间严格保证 1- a 属于 I

两个方法：

1. 参考之前文章的 idea 直接推
2. 用随机加权的 ificent model

随机加权的 ificent model：

step1：

Q： Y~P(STA) STA = lambda + b

F_STA(Y-1) <= u < F_STA(Y) u,v ~ Unif(0,1)

F_mb(w-1) <= v <= F_mb(w)

step2:

G(STA): w_1: F_STA(Y-1)+(1-w_1)F_STA(Y) = u (关于 STA 的递减函数) H(mb): w_2: F_mb(w-1) + (1-w_2)F_mb(w) =v

step3:

STA = [G(u)]^(-1) , b = [H(v)]^(-1)/m ==> lambda = [G(u)]^(-1)-[H(v)]^(-1)

step4:

模拟验证：

对 U,V ~ Unif(0,1) -> 生成 10000 个样本

W1，W2 ~ Unif(0,1) -> 10000

for 循环 for u,v,W_1,W_2

lambda = [G(u)]^(-1)-[H(v)]^(-1) -> 10000 个解

得到[lambda_上区间，lambda_下区间] = [lambda_0.025，lambda_0.095] lambda 的上分位数下分位数

10000 次样本有无落入其中： true lambda = STA - b

关注作差后覆盖率好不好 N/ 10000 (能否保证)

结果如何

好-》 成功 不好—》 h 函数继续优化