1.1 符号定义与矩阵运算#

反向传播算法利用矩阵运算快速计算输出层的梯度，并逐层向前传播误差。定义如下核心符号：

1.2 反向传播四个基本方程#

BP 四个核心方程（必记）

• BP1（输出层误差）：$\delta^L = \nabla_a C \odot \sigma'(z^L)$

• BP2（误差传播）：$\delta^l = ((w^{l+1})^T \delta^{l+1}) \odot \sigma'(z^l)$

• BP3（代价对偏置的梯度）：$\frac{\partial C}{\partial b^l_j} = \delta^l_j$

• BP4（代价对权重的梯度）：$\frac{\partial C}{\partial w^l_{jk}} = a^{l-1}_k \delta^l_j$

1.3 反向传播算法步骤（随机梯度下降）#

1. 输入：设置输入层激活值 $a^1 = x$

2. 前馈：对每一层 $l = 2, 3, \ldots, L$，计算 $z^l = w^l a^{l-1} + b^l$ 和 $a^l = \sigma(z^l)$

3. 输出层误差：计算 $\delta^L = \nabla_a C \odot \sigma'(z^L)$

4. 反向传播误差：对每一层 $l = L-1, L-2, \ldots, 2$，计算 $\delta^l = ((w^{l+1})^T \delta^{l+1}) \odot \sigma'(z^l)$

5. 输出梯度：得到 $\frac{\partial C}{\partial w^l_{jk}} = a^{l-1}_k \delta^l_j$ 和 $\frac{\partial C}{\partial b^l_j} = \delta^l_j$

1.4 反向传播的全局观#

从全局视角理解反向传播：权重的变化如何影响激活值的变化，进而影响代价函数的变化。可以用”路径求和”的方式理解梯度的计算：

$\frac{\partial C}{\partial w^l_{jk}} = \sum_{\text{paths}} \text{(path contributions from } w^l_{jk} \text{ to } C\text{)}$

每一条从权重 $w^l_{jk}$ 到代价 $C$ 的路径，其贡献为路径上所有偏导数的乘积。反向传播算法本质上是高效地计算这些路径求和。

2.1 问题引入：MSE 的学习缓慢问题#

使用均方误差（MSE）作为代价函数时，当神经元输出严重错误且饱和时，学习速度非常缓慢。

问题示例

单个神经元，期望输出 0，使用 MSE 代价函数：

• 当 $w=0.6, b=0.9$ 时：初始输出 $\sigma(0.6 \times 1 + 0.9) = \sigma(1.5) \approx 0.82$，学习缓慢

• 当 $w=2.0, b=2.0$ 时：初始输出 $\sigma(2.0 \times 1 + 2.0) = \sigma(4.0) \approx 0.98$，学习更加缓慢！

原因：MSE 梯度中含有 $\sigma'(z)$ 项，当神经元饱和时 $\sigma'(z) \approx 0$，梯度趋近于零。

2.2 交叉熵定义#

为解决学习缓慢问题，引入交叉熵代价函数：

$C = -\frac{1}{n} \sum_x \left[ y \ln a + (1-y) \ln(1-a) \right]$

其中 $n$ 为训练样本总数，$a$ 为神经元输出，$y$ 为期望输出。

2.3 交叉熵的关键性质#

**优势：梯度中不含 **$\sigma'(z)$

计算交叉熵对权重的偏导数：

$\frac{\partial C}{\partial w_j} = \frac{1}{n} \sum_x x_j (\sigma(z) - y)$

梯度仅取决于输出误差 $(\sigma(z) - y)$，误差越大学习越快

2.4 详细推导#

对单个训练样本，代价函数为：

$C = -\left[ y \ln a + (1-y) \ln(1-a) \right]$

其中 $a = \sigma(z) = \sigma(wx + b)$。计算偏导数：

$\frac{\partial C}{\partial w_j} = -\left[ \frac{y}{\sigma(z)} - \frac{1-y}{1-\sigma(z)} \right] \cdot \sigma'(z) \cdot x_j$

利用 $\sigma'(z) = \sigma(z)(1-\sigma(z))$：

$\frac{\partial C}{\partial w_j} = -\left[ \frac{y}{\sigma(z)} - \frac{1-y}{1-\sigma(z)} \right] \cdot \sigma(z)(1-\sigma(z)) \cdot x_j$

$= -\left[ y(1-\sigma(z)) - (1-y)\sigma(z) \right] \cdot x_j$

$= -\left[ y - y\sigma(z) - \sigma(z) + y\sigma(z) \right] \cdot x_j$

$= (\sigma(z) - y) \cdot x_j$

类似地，对偏置的偏导数为：

$\frac{\partial C}{\partial b} = \frac{1}{n} \sum_x (\sigma(z) - y)$

2.5 从期望性质反推交叉熵#

如果我们希望代价函数满足以下性质：

$\frac{\partial C}{\partial w} = x(a - y)$

从这个期望出发，通过积分可以推导出交叉熵的形式。由 $\frac{\partial C}{\partial a} = \frac{a-y}{a(1-a)}$，对 $a$ 积分得：

$C = -\left[ y \ln a + (1-y) \ln(1-a) \right] + \text{const}$

2.6 多神经元推广#

对于输出层有多个神经元的网络，交叉熵推广为：

$C = -\frac{1}{n} \sum_x \sum_j \left[ y_j \ln a^L_j + (1-y_j) \ln(1-a^L_j) \right]$

其中 $j$ 遍历输出层所有神经元。

3.1 Softmax 输出层#

Softmax 是一种输出层激活函数，用来替代 sigmoid。它把输出层的原始值 $z^L_j$ 转换成概率分布

$a^L_j = \frac{e^{z^L_j}}{\sum_{k} e^{z^L_k}}$

输出范围：每个 $a^L_j \in (0, 1)$

和为 1：$\sum_j a^L_j = 1$（天然是概率分布）

放大差异：$z$ 最大的那个类别会得到最大的概率

假设输出层有 3 个神经元（3 分类），加权输入为：

$z^L = (2.0, \ 1.0, \ 0.5)$

计算 softmax：

$\sum_k e^{z^L_k} = e^{2.0} + e^{1.0} + e^{0.5} = 7.389 + 2.718 + 1.649 = 11.756$

输出 $(0.629, 0.231, 0.140)$，和为 1

网络预测：最可能是第 1 类（概率 62.9%）

3.2 对数似然代价函数#

Softmax 通常搭配对数似然代价函数（Log-likelihood cost）** **$C = -\ln a^L_y$

其中 $y$ 是正确类别的索引。当网络对正确类别预测的概率越高，代价越低。

也就是只关注”正确类别的概率”有多大

3.3 梯度推导#

Softmax + 对数似然的梯度同样具有简洁的形式：

$\frac{\partial C}{\partial w^L_{jk}} = a^{l-1}_k (a^L_j - y_j)$

$\frac{\partial C}{\partial b^L_j} = a^L_j - y_j$

与交叉熵相同的优势都是梯度同样不含 $\sigma'(z)$，由误差 $(a^L_j - y_j)$ 驱动，避免学习缓慢。

3.4 交叉熵 vs Softmax+对数似然 对比#

Sigmoid + 交叉熵

• 输出层使用 Sigmoid

• 代价函数：$C = -\frac{1}{n}\sum[y\ln a + (1-y)\ln(1-a)]$

• 适合二分类或多标签任务

• 各输出独立

Softmax + 对数似然

• 输出层使用 Softmax

• 代价函数：$C = -\ln a^L_y$

• 适合多分类（互斥）任务

• 各输出竞争（和为 1）

4.1 过拟合现象#

当模型参数远多于训练数据时，网络会记住训练数据的噪声而非学习通用规律。

实验示例

使用 30 个隐藏神经元的网络（共 23860 个参数），仅用 1000 张图片训练：

• 训练准确率持续上升（接近 100%）

• 测试准确率很快达到平台期并停止提升

• 训练代价持续下降，但测试代价开始上升

4.2 检测过拟合#

1. 跟踪测试集（或验证集）上的准确率

2. 当测试准确率不再提升时，停止训练（早停法 Early Stopping）

3. 观察训练代价与测试代价的差距是否持续增大

4.3 最直接的解决方案：增加训练数据#

将训练数据从 1000 张增加到 50000 张后，过拟合现象大幅缓解，测试准确率显著提升。

更多的数据几乎总是比更复杂的模型更有效。但获取更多数据并非总是可行，因此需要正则化等技术。

5.1 L1 正则化#

L1 正则化使用权重的绝对值之和作为惩罚项：

$C = C_0 + \frac{\lambda}{n} \sum_w |w|$

其中 $C_0$ 为原始代价函数，$\lambda > 0$ 为正则化参数，求和遍历网络中所有权重。

5.2 L2 正则化（权重衰减）#

在原始代价函数基础上添加权重惩罚项：

$C = C_0 + \frac{\lambda}{2n} \sum_w w^2$

其中 $C_0$ 为原始代价函数，$\lambda > 0$ 为正则化参数，求和遍历网络中所有权重。

5.3 Dropout#

训练时，每次前向传播随机 “关掉” 一部分隐藏层神经元，让它们的输出变为 0。被关掉的神经元这一轮不参与计算，也不更新权重。强迫网络中的每个神经元都独立学到有用的特征，而不是依赖特定的搭配。效果相当于同时训练了大量不同的子网络，最终取平均，显著减轻过拟合

1. 训练时，以概率 $p$ 随机将隐藏层神经元的输出置零

2. 输入层和输出层保持不变

3. 测试时，使用所有神经元但将权重乘以 $(1-p)$ 进行缩放

Dropout 的直觉理解

• 相当于训练了指数级数量的”瘦”网络的集成（Ensemble）

• 每个神经元不能依赖于特定其他神经元的存在，必须学习更鲁棒的特征

• 减少神经元之间的”共适应”（co-adaptation）

6.1 常用增强方法#

6.2 效果#

数据增强能有效增加训练数据的多样性，提升模型的泛化能力。实验表明，使用弹性形变增强后的手写数字识别准确率显著提升。

关键原则：增强变换应模拟真实世界中可能出现的数据变体，同时保持标签不变。

7.1 标准初始化的问题#

使用标准正态分布 $\mathcal{N}(0, 1)$ 初始化所有权重时：

• 加权输入 $z = \sum_j w_j x_j + b$ 的标准差为 $\sqrt{n_{in} + 1}$（$n_{in}$ 为输入连接数）

• 当 $n_{in}$ 较大时，∣ z∣ 很大时，σ(z) 接近 0 或 1（饱和）

• 饱和导致 $\sigma'(z) \approx 0$，学习极其缓慢

7.2 改进的初始化方法#

改进方案：使用 $\mathcal{N}(0, 1/\sqrt{n_{in}})$ 初始化权重

此时 $z$ 的标准差约为 $\sqrt{3/2} \approx 1.22$（假设偏置用 $\mathcal{N}(0,1)$），神经元不再轻易饱和。

**标准初始化 **$\mathcal{N}(0,1)$

• 初始时大量神经元饱和

• 学习起步极慢

• 需要更多 epoch 才能收敛

**改进初始化 **$\mathcal{N}(0, 1/\sqrt{n_{in}})$

• 初始时神经元处于非饱和区

• 学习从一开始就很快

• 更快收敛到更好的结果

8.1 均值减法（Mean Subtraction）#

$\hat{x} = x - \bar{x}$

将每个特征减去其在训练集上的均值，使数据以零为中心。

8.2 均一化（Normalization）#

$\hat{x} = \frac{x - \mu}{\sigma}$

进一步除以标准差，使每个特征的方差为 1。预处理后数据满足：均值为 0，方差为 1。

8.3 ZCA 白化（Whitening）#

白化将数据去相关化，使协方差矩阵变为单位矩阵：

$y = W x$

ZCA 白化的变换矩阵为：

$W_{ZCA} = \Sigma^{-1/2}$

其中 $\Sigma$ 为数据的协方差矩阵。

9.1 Hessian 方法（二阶优化）#

利用代价函数的二阶泰勒展开来优化：

$C(w + \Delta w) \approx C(w) + \nabla C \cdot \Delta w + \frac{1}{2} \Delta w^T H \Delta w$

其中 $H$ 为 Hessian 矩阵（二阶偏导矩阵），$H_{ij} = \frac{\partial^2 C}{\partial w_i \partial w_j}$

令梯度为零，求得最优步长：

$\Delta w = -H^{-1} \nabla C$

Hessian 方法的优缺点

• 优点：收敛速度快，不需要手动调节学习率

• 缺点：Hessian 矩阵计算和存储成本极高（$O(n^2)$ 存储，$O(n^3)$ 求逆），实际中常用近似方法

9.2 动量梯度下降（Momentum）#

引入”速度”变量 $v$，模拟物理中的动量效应：

$v \to \mu v - \eta \nabla C$

$w \to w + v$

其中 $\mu \in [0, 1)$ 为动量系数（通常取 0.9），$\eta$ 为学习率

10.1 tanh 激活函数#

定义：

$\tanh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}}$

与 Sigmoid 的关系：

$\sigma(z) = \frac{1 + \tanh(z/2)}{2}$

10.2 ReLU 激活函数#

定义：

$\text{ReLU}(z) = \max(0, z)$

ReLU 的优势

• 无饱和问题（正区间梯度恒为 1）

• 计算高效（仅需比较和取零操作）

• 稀疏激活（负输入直接输出零，天然正则化效果）

• 收敛速度通常比 Sigmoid/tanh 快 6 倍

ReLU 的潜在问题：Dead ReLU

当某个神经元的输入始终为负时，该神经元永远输出 0，梯度也为 0，永远无法恢复。解决方案：使用 Leaky ReLU $\max(0.01z, z)$ 或适当的学习率。

10.3 激活函数总览#