高代知识点全汇总

因为初等行变换不改变列向量组的线性表出关系。例如下图， $\beta$ 矩阵中，![\beta_{3}=\beta_{2} +\beta_{1}](https://latex.csdn.net/eq?\beta_{3}%3D\beta_{2} +\beta_{1})， $\alpha$ 矩阵同样有这样的关系。

6.求向量组的秩时，行列变换都可

求向量组的秩，其实最后会转化为求矩阵的秩，原理就是**“矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩”，**所以求向量组的秩也是行列变换都可。

但是一般求向量组的秩后面会继续求解极大无关组/线性表出关系，这时只能做行变换，所以还是建议从开头就只使用行变换。

7.求特征值时，行列变换都可

因为特征多项式本质上是行列式，求行列式时，行列都可以换。

8.求特征向量时，仅做行变换

因为求特征向量时，本质是在解线性方程组，只能进行初等行变换。

9.求逆矩阵时，对(A,E)仅做初等行变换

因为以A−1𝐴−1左乘A得到E，以A−1𝐴−1左乘E得到A−1𝐴−1，以A−1𝐴−1左乘的过程就是做初等行变换的过程。

所以怎么体现A和E做了完全一样的A−1𝐴−1所带来的初等行变换，就是将A，E横着拼在一起，此时做的初等行变换就是同步的了。

总结：

除了① 求行列式的值（求特征值本质上就是求行列式的值）和 ② 单纯求秩，行列变换都可，其余情况通通只做行变换。

二.要牢记

先写那么多，后面有再补充：

一些推导：

对于AB ≠ BA的补充：

1.矩阵的逆

推导如下：

初等矩阵的逆：

2.矩阵的伴随

三.某某子式

1.余子式

在n阶行列式中，去掉元素a所在的第i行、第j列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的n-1阶行列式称为元素a的余子式，记作Mij𝑀𝑖𝑗。

2.代数余子式

余子式Mij𝑀𝑖𝑗乘(−1)i+j(−1)𝑖+𝑗后称为a的代数余子式，记作AAij𝐴𝑖𝑗

3.k阶子式

给定一个矩阵，任取k行，任取k 列，共k2𝑘2个数构成的行列式，出现在矩阵的秩中，定义如下：

设A是mxn矩阵，则若存在k阶子式不为零，而任意k+1阶子式(如果有的话)全为零，则r(A)=k，且若A为nxn矩阵，则：

4.k阶主子式

指在行列式中选k行k列，但要求行和列的下标相同。如：行为r1、r2、r3，列必须为c1、c2、c3；行为r2、r3、r5，列必须为c2、c3、c5。因此，k阶主子式不唯一。

这在矩阵相似会用到，下面会讲。

5.顺序主子式

顺序主子式是在主子式上再加限定，顺序主子式是由 1~k 行和 1~k 列所确定的子式。

例如：

1阶时：取第1行，第1列

2阶时：取第1、2行，第1、2列

3阶时：取第1、2、3行，第1、2、3列

4阶时：取第1、2、3、4行，第1、2、3、4列

实际上，主子式的主对角线元素是原 n 阶行列式的主对角线元素的一部分，且顺序相同。

所以k 阶主子式是不唯一的，而 k 阶顺序主子式是唯一的。

用在判断二次型正定上，下面会讲。

四.矩阵的秩

① 0 <= r(A) <= min{m,n}

② r(kA)=r(A)(k ≠ 0)

③ r(AB) <= min{r(A),r(B)}

④ r(A+B) <=r(A)+r(B)

⑤

r(A)=n-1,r(A*)=1的证明：

进而可得出一个重要结论：

******************A************m****∗****n********************B************n****∗****s**************=****0************𝐴𝑚∗𝑛𝐵𝑛∗𝑠=0******，则r(A)+r(B)<=n****

所以，看到A*B就要想到两个结论：

⑥ 设A是m*n矩阵，P,Q分别是m阶，n阶可逆矩阵，则

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

⑦ r(A)=r(AT)𝑟(𝐴𝑇)=r(AAT𝐴𝐴𝑇)=r(ATA𝐴𝑇𝐴)

关于⑤的例题：

为什么Ax=b有n-r+1个线性无关的解：

五.常用特征值与特征向量

注意这样一道例题：

关于特征值的一些提示：

六.矩阵，向量组，方程组

矩阵，向量组

① 向量组是由有限个相同维数的行向量或者列向量组成，其中向量是由n个实数组成的有序数组,是一个n1的矩阵(n维列向量)或是一个1n的矩阵(n维行向量)。

② 矩阵是由m*n个数排列成m行n列的数表。

一个向量组可以看作是一个矩阵的列（或行）向量集合。如果一个矩阵有n列，那么这n列就可以看作是一个由n个向量组成的向量组。反过来，一个矩阵也可以看作是由其列（或行）向量组成的向量组。

1.怎么判断两个矩阵等价

矩阵等价的前提：A与B是****同型****矩阵，即A,B行数，列数相同

矩阵等价的充要条件：

① r(A)=r(B)

② PAQ=B，P,Q可逆

2.怎么判断两个向量组是等价向量组

向量组等价的前提：A，B矩阵****同维****

若r( Ⅰ )=r(α1,α2,α3,α4𝛼1,𝛼2,𝛼3,𝛼4…) r(Ⅱ)=r(β1,β2,β3,β4𝛽1,𝛽2,𝛽3,𝛽4…)

向量组等价的充要条件：
① r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，且(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出（单向表出即可）

② r(Ⅱ)=r(Ⅰ)，且(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出（单向表出即可）

③ r(α1,α2,α3,α4𝛼1,𝛼2,𝛼3,𝛼4…) =r(β1,β2,β3,β4𝛽1,𝛽2,𝛽3,𝛽4…) =r(α1,α2,α3,α4𝛼1,𝛼2,𝛼3,𝛼4…,β1,β2,β3,β4𝛽1,𝛽2,𝛽3,𝛽4…)，即

r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)

④ Ⅰ和Ⅱ能够相互线性表示。

总结：
① 两个矩阵A与B等价指的是A可以通过有限次初等变换变成B。两个不同型矩阵是不可能等价
乡
② 两个向量组等价只指的是它们能够互相线性表示，它们各自所含向量的个数可能是不一样的。

例题：

D.即使Ⅰ 和 Ⅱ 同为n维向量组，但是s与t的关系未知，也就是行数相等，列数未知，所以A，B两个矩阵可能不同型，不能等价。

B.(Ⅰ)可由（Ⅱ）表示，缺少其他条件，如果① 加上(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出或者② r(Ⅰ)=r(Ⅱ)就对了

C正确

D r(A)=r(B)，只能推出两个向量组秩相同，缺少其他条件，如果加上① 加上(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出或者②加上(Ⅰ )可由(Ⅱ)线性表出或者③ r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)，就对了。

3.矩阵和向量等价的比较

例题：

A.(α1,α2,α3,0𝛼1,𝛼2,𝛼3,0)能与(α1,α2,α3𝛼1,𝛼2,𝛼3)相互线性表示，但是(α1,α2,α3,0𝛼1,𝛼2,𝛼3,0)不是Ax=0的基础解系

B.基础解系一定是线性无关的，但是B选项3个向量是线性相关的（3个向量相加=0）

C.像上面举的例子一样，α1α2𝛼1𝛼2，β1β2𝛽1𝛽2等秩，但是α1α2𝛼1𝛼2与β1β2𝛽1𝛽2不能相互线性表示。

D.

在(α1,α2,α3𝛼1,𝛼2,𝛼3)的右边乘可逆矩阵，不改变原来矩阵的秩，且(β1,β2,β3𝛽1,𝛽2,𝛽3)与(α1,α2,α3𝛼1,𝛼2,𝛼3)能相互线性表示

所以，求Ax=0的另一个基础解析，需要满足与(*******************α********1**********,**********α********2**********,**********α********3******************𝛼1,𝛼2,𝛼3*****)等价且等秩。

4.同解方程组

若两个方程组Am∗nx=0𝐴𝑚∗𝑛𝑥=0与Bs∗nx=0𝐵𝑠∗𝑛𝑥=0有完全相同的解，则称它们为同解方程组

充要条件：

① Ax=0的解满足Bx=0，且Bx=0的解满足Ax=0(互相把解代入求出结果即可)

② r(A)=r(B)，且Ax=0的解满足Bx=0(或Bx=0的解满足Ax=0)

③ r(A)=r(B)=r([AB][𝐴𝐵])(三秩相同)

例1：

例2：

例3：

七.齐次线性方程组和非齐次线性方程组

齐次线性方程组有解的条件：

① r(A)=n时，方程组有唯一零解。

② r(A)=r<n时，方程组有非零解（无穷多解），且有n-r个线性无关解

齐次方程组其实就是解和系数的正交，例如，给你一个条件：

α1=2α2+α3𝛼1=2𝛼2+𝛼3---->α1−2α2−α3+0α4=0𝛼1−2𝛼2−𝛼3+0𝛼4=0

则(1 -2 -1 0)就是齐次方程组的基础解系

非齐次线性无关组有解的条件：

① 若r(4)≠r([A,b])，则方程组无解；
② 若r(A)=r([A,b])=n，则方程组有唯一解；
③ r(A)=r([A,b])=r<n，则方程组有无穷多解。

非齐次方程组的通解的求法：

①求Ax=0的解

② 求Ax=b的一个特解

③ 非齐次方程组的通解=齐次方程组的解+一个非齐次的特解

如果A行满秩，则r(A)=r(A|b)，那么方程组一定有解。

如果A列满秩，则r(A)与r(A|b)的关系不确定：

① r(A)<r(A|b)，则无解

② r(A)=r(A|b)<n，有无穷多解

③ r(A)=r(A|b)=n，有唯一解

非齐次方程组解的性质：

若η1η2η3𝜂1𝜂2𝜂3是非齐次线性方程组Ax=b的解，ξ𝜉是对应齐次方程组Ax=0的解，则：
(1) η1−η2𝜂1−𝜂2是Ax=0的解；（2）kξ+η𝑘𝜉+𝜂是Ax=b的解

扩展：

解释：

1.p个解的任意组合，都是齐次线性方程组的解

2.非齐次的解线性组合也能得到齐次线性方程组的解，但是需要满足k1+k2+…+kp=0，例如，α1−α2𝛼1−𝛼2=0(1-1=0),α1−α2𝛼1−𝛼2就是齐次线性方程组的解。

3.非齐次的解线性组合也能得到非齐次线性方程组的解，但是需要满足k1+k2+…+kp=1，例如，(α1+α2)/2(𝛼1+𝛼2)/2，就是非齐次线性方程组的一个解。

4.齐次线性方程组的解与非齐次线性方程组的解相加，得到的是非齐次线性方程组的解。

5.r(A)=r，A就有n-r个线性无关的解，而x1,x2,…xn−r𝑥𝑛−𝑟刚好是Ax=0的n-r个线性无关解，所以

k1x1+k2x2+…+kn−rxn−r𝑘𝑛−𝑟𝑥𝑛−𝑟是Ax=0的解。

例题：

A.α1−α2𝛼1−𝛼2是组合系数是1-1=0，α1−α2𝛼1−𝛼2是Ax=0的解

B.3α1−2α23𝛼1−2𝛼2是Ax=b的解，C,D同理。

八.对比记忆

矩阵A的tr(A)：tra(A)=矩阵A的迹=对角线元素之和

**2.**对于秩为1的n阶矩阵A或A=αβT𝛼𝛽𝑇(或βTα𝛽𝑇𝛼)（a,β都是n维非零列向量），其特征值为λ1λ2λ3…λn−1𝜆1𝜆2𝜆3…𝜆𝑛−1=0，λn=∑ni=1aii=βTα𝜆𝑛=∑𝑖=1𝑛𝑎𝑖𝑖=𝛽𝑇𝛼（或αTβ𝛼𝑇𝛽）

例题1：

例题2：

九.相似与正交

存在n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=B𝑃−1𝐴𝑃=𝐵,则称A相似于B，记为A~B

若A~B

① |A|=|B|

② r(A)=r(B)

③ tr(A)=tr(B)

④ λA=λB𝜆𝐴=𝜆𝐵（|λE−A|=|λE−B||𝜆𝐸−𝐴|=|𝜆𝐸−𝐵|）

⑤ r(λE−A)=r(λE−B)𝑟(𝜆𝐸−𝐴)=𝑟(𝜆𝐸−𝐵)

*⑥ A，B各阶主子式之和分别相同*

也就是说，A与B即使特征值相同，但也不一定相似。但是如果A，B都是实对称矩阵，那么相似，则一定特征值相同（实对称矩阵一定能相似对角化，特征值相同一定能相似于同一个对角矩阵，根据传递性A~B）。

那么怎么判定矩阵相似呢？

① 定义法

存在n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=B𝑃−1𝐴𝑃=𝐵

② 传递法

A~ΛΛ，ΛΛ~B，则A~B，其中ΛΛ为对角阵

这就要说到矩阵的相似对角化

矩阵可相似对角化的条件：

充要条件：

① n阶矩阵A可相似对角化↔有n个线性无关的特征向量。

② n阶矩阵A可相似对角化↔A对应于每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量

必要条件：

③ n阶矩阵A有n个不同特征值→A可相似对角化

④ n阶矩阵为实对称矩阵→A可相似对角化

对于矩阵相似对角化的步骤：

① 求特征值

② 求特征向量

③ 正交化（如果需要的话），单位化η1η2η3…ηn𝜂1𝜂2𝜂3…𝜂𝑛

④ 令Q=[η1η2η3…ηn𝜂1𝜂2𝜂3…𝜂𝑛],则Q为正交矩阵，且Q−1AQ=QTAQ=Λ𝑄−1𝐴𝑄=𝑄𝑇𝐴𝑄=Λ

上面提到了实对称矩阵，实对称矩阵就是组成A的元素都是实数。对于实对称矩阵（AT=A𝐴𝑇=𝐴）要记住：

对于正交，你需要记住：
① αTβ=0𝛼𝑇𝛽=0，则 $\alpha$ ， $\beta$ 是正交向量

② 若满足ATA=E𝐴𝑇𝐴=𝐸，则A是正交矩阵

ATA=E𝐴𝑇𝐴=𝐸↔A−1=AT𝐴−1=𝐴𝑇

例题：

不可对角化的矩阵怎么判断相似：

例题：

如果A与B相似，那么：

对于任意实数k和整数n，有(A+kE)n(𝐴+𝑘𝐸)𝑛与(B+kE)n(𝐵+𝑘𝐸)𝑛相似

对于上面这道题，取k=-1，n=1，判断哪两个矩阵相似。

矩阵相似还可得出：

① A~B，Ak=Bk𝐴𝑘=𝐵𝑘，f(A)=f(B)

② 若A~B，且A可逆，则A−1𝐴−1~B−1𝐵−1，f(A−1𝐴−1)=f(B−1𝐵−1)

③ 若A~B，A∗𝐴∗~B∗𝐵∗

④ 若A~B，AT𝐴𝑇~BT𝐵𝑇

注：

十.合同

设A，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得CTAC=B𝐶𝑇𝐴𝐶=𝐵，则称A与B合同，即A≅B𝐴≅𝐵。A与B合同，就是指同一个二次型在可逆线性变换下的两个不同状态的联系。

**注：**由于我们已经规定，对称矩阵才是二次型矩阵，所以二次型矩阵都是对称矩阵，相应的和对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵。

例题：

十一.二次型

关于二次型化标准型或规范型的方法：配方法，正交变化有总结如下：

所以我们可以进一步得到

等价，合同和相似的关系：

**注：**相似一定合同的前提条件是A，B都是实对称矩阵

例题：

关于配方法和正交变换分别给一个例题：
配方法：

正交变换：

① 若λ1=λ2𝜆1=𝜆2，那么两个同一特征值对应的特征向量需要正交化，如果本来就正交可以不做这一步，所以在计算特征值的时候，可以将两个特征向量写为正交的，这样就免去了施密特正交化，直接进入单位化即可。

② λ1≠λ2≠λ3𝜆1≠𝜆2≠𝜆3，那么不用进行施密特正交，直接单位化即可。

常见题型：

这里记录一个例题：

若二次型中只有混合项，没有平方项，要怎么做？

十二.二次型正定

二次型正定的充要条件：
n元二次型f=xTAx𝑓=𝑥𝑇𝐴𝑥正定↔对任意x≠0，有xTAx𝑥𝑇𝐴𝑥>0（定义）

① ↔f的正惯性指数p=n

② ↔存在可逆矩阵D，使得A=DTD𝐴=𝐷𝑇𝐷

③ ↔A≅E𝐴≅𝐸，A与E合同

② ③推导：

④↔A的特征值λ𝜆>0

⑤↔A的全部顺序主子式>0

二次型正定的必要条件：

① aii𝑎𝑖𝑖>0，对角线元素全部大于0

② |A|>0